lørdag den 18. november 2017

Befolkningsudviklingen i de forskellige verdensdele

Man snakker i dag meget om befolkningsudviklingen i de forskellige verdensdele. For det er jo et faktum, at der bliver flere og flere mennesker på jorden. Og da størrelsen af den blå planet ikke også ændrer sig i forhold til befolkningen. Så opstår problemet med for mange mennesker. Hvilket det i de fattige områder på jorden, får den konsekvens, at der bliver mere og mere fattigdom.

Vi skal i de følgende opgaver se og beregne på nogle tal omkring befolkningsudviklingen i 6 af de 7 verdensdele; er et større landområde som udgør en geografisk helhed. Vi skal se på; Nordamerika, Sydamerika, Europa, Australien (Oceanien), Afrika og Asien. Men dog ikke Antarktis.

En eksponentiel udvikling

En eksponentiel udvikling er en slags matematisk model, som kan bruges til beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-) afhængige variabel med lige store forholdstal.
Her er nogle eksempler på fænomener der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:

  • “Renters rente” er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted hvor man kan forvente en konstant rente, vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
  • Hvis fødselsraten i en befolkning ligger højere eller lavere end hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
  • Strålingen fra en prøve af et radioaktivt stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager, beskrives ofte ved den såkaldte halveringstid.
  • Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
  • Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid.

Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:

hvor:
  • x er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
  • y er den afhængige variabel.
  • a er det forholdstal som y ændrer sig med, når x stiger eller falder med 1: Hvis a < 1 er y eksponentielt aftagende, hvis a > 1 er den eksponentielt voksende, og hvis a = 1 er y konstant.
  • b er den størrelse y har når x er lig med nul.

En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal a og b: Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om hvor stor den undersøgte størrelse y var eller vil være til et givent tidspunkt x. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme hvornår y når eller nåede en bestemt værdi.

Givet to sammenhørende par af x og y (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af a og b, og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.

Størrelsen af a er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for hvor stor ændring i den uafhængige variabel x der “skal til” for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel y. Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T, gælder:


Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:

Jeg vil nu undersøge befolkningsudviklingen for de forskellige verdensdele og tallene fra hele verden, fra 1950 til 2000, kan beskrives ved hjælp af en eksponentiel udvikling.

Vi skal i denne opgave bestemme forskrifterne, for de forskellige verdensdele, både ved hjælp af regression og ved at beregne fremskrivningsfaktoren ud fra to punkter.
• Til udregning af regressionen, bruger jeg her lommeregneren TI-84 Plus fra Texas Instruments. Fremgangsmåden til udregning af nedenstående tal, sker via lommeregneren:
1. Tryk STAT og vælg menu 1: EDIT… Indtast tallene for en verdensdel af gangen i L2. I L1skrives årstallene (x > 1950). Det vil sige, at man f.eks. i stedet for 1950 skriver 0 og 1995 skriver 45.
Når tallene er indtastet – klik STAT og vælg menu 2: ExpReg. Skriv derefter L1 og , (ikke et regnekomma) og L2. Klik derefter på ENTER.

Der vil da fremkomme nogle tal på skærmen. Tallet r2 skal ligge i nærheden af 1. Tallet skal være højere end 0,96. Elles bliver grafen for den eksponentielle udvikling for upræcis.
Overstående metode har jeg brugt til udregning af nedenstående tal og ligninger:

Verden:


Se grafen – bilag 1
Europa:

Grafen for denne, har jeg valgt ikke og tegne ind, da den ville blive meget upræcis. 
Afrika:


Se grafen – bilag 2
Sydamerika:


Se grafen – bilag 3
Asien:


Se grafen – bilag 4
Nordamerika:



Se grafen – bilag 5
Oceanien:


Se grafen – bilag 6

Det kan nu ses, at hele verden og verdensdelene: Nordamerika, Sydamerika, Australien (Oceanien), Afrika og Asien. Alle kan have en grafiskfremstilling, da tallet r er over 0,96.
Dette er dog ikke gældende for Europa, da tallet er 0,7806.

Hvad er en forskrift?


Er den nøjere sammenhæng mellem den uafhængige og afhængige variabel, som kan være givet ved et regneudtryk, der beregner, hvad den afhængige variabel bliver for en given værdi af den uafhængige.
Et eksempel på en forskrift kunne f.eks. se sådan her ud:
f(x) = 2·x + 1

Jeg har i overstående opgave, brugt regressionsmetoden til bestemmelse af forskrifterne.

Jeg vil nu beregne fremskrivningsfaktoren, ud fra 2 passende punkter, som begge ligger på linien.

Forskriften for en eksponentiel funktion ud fra to punkter:
Jeg ønsker og bestemme a og b.


Bestemmelse af a:


Nu har vi fundet og udregnet en metode til, hvordan man hurtigt kan regne værdien, ud for a.
Vi skal ikke længere lave en lang udregning, for at finde a værdien. Men blot sætte de forskellige koordinater (X1 , X2) og (Y1 , Y2), ind i overstående formel:
Men hvad med b? – Dette forgår på samme måde. Vi skal placere koordinaterne i nedenstående formel. Men her er ingen ”mellemregninger” til udregning af formlen b.
Denne kender vi i forvejen.

Bestemmelse af b:

Brugen af fremskrivningsfaktoren bruges til udledning af en lineærudvikling. Og regressionen til beregning på en eksponentieludvikling.

Jeg vil nu bruge fremskrivningsfaktoren til beregning af forskriften, for de forskellige verdensdele og hele verden.

Først har jeg lavet fremskrivningsfaktoren for verden og den kommer til at se sådan ud:

2 punkter: (X1 , Y1) = (10 , 3023812000)
(X2 , Y2) = (60 , 6842923000)

Fremskrivningsfaktoren ud fra to punkter for Europa her jeg valgt ikke og lave, da det tydeligt kan ses på de faktiske tal. Og ved udregning af regressionen, at en graf for denne verdensdel, vil være alt for upræcis. Så derfor har jeg ikke arbejdet videre med denne verdensdel.


Her er fremskrivningsfaktoren for Afrika og den kommer til at se sådan ud:

2 punkter: (X1 , Y1) = (30 , 478824000)
(X2 , Y2) = (55 , 905936000)

Og fremskrivningsfaktoren for Sydamerika:
2 punkter: (X1 , Y1) = (15 , 250774000)
(X2 , Y2) = (55 , 561346000)

Fremskrivningsfaktoren for Asien ser sådan ud:

2 punkter: (X1 , Y1) = (15 , 1896875000)
(X2 , Y2) = (55 , 3905415000)

Fremskrivningsfaktoren for Nordamerika kommer til at se således ud:

2 punkter: (X1 , Y1) = (10 , 204149000)
(X2 , Y2) = (55 , 330608000)

Og til sidst er det fremskrivningsfaktoren for Australien (Oceanien):

2 punkter: (X1 , Y1) = (15 , 17788000)
(X2 , Y2) = (55 , 33056000)


Dette var alle fremskrivningsfaktorerne for verdensdelene og hele verden.
Og før dette var det regressionen for verdensdelene vi beregnende.


Jeg vil nu forklare, hvor godt en befolkningsudviklingen beskrives ved hjælp af en eksponentiel funktion og hvorfor man for befolkning vil vente en eksponentieludvikling frem for en lineærudvikling.

Men for at kunne dette, skal vi først hurtigt se på forskellen på disse to funktioner:

  1. Den lineære vækst, hvor forskellen mellem to værdier er konstant. Der lægges hele tiden samme værdi til.
  2. Den eksponentielle vækst, hvor det i stedet er forholdet der er konstant. Her ganges der med det samme tal.

En lineærfunktion kan starte ud med et større tal, end den eksponentielle. Men den eksponentielle vækst vokser ganske langsomt men efterhånden, fra den lineære vækst.

Jeg har valgt og vise et eksempel på en eksponentiel udvikling.

Eks. 1
I en storby var der den 1/1 1995 et befolkningstal på 13,8 mio. Siden 1995 er der sket en udvandring til forstæderne, hvorved befolkningstallet er faldet med 5 % hvert år.
Vi lader g(x) betegne befolkningstallet i mio. x år efter 1/1 1995. Da er g en eksponentiel udvikling, er denne aftagende.

Parametrene til bestemmelse af forskriften er:

B = begyndelsesværdi = befolkningstal i 1995 = 13,8 mio.
r = relative tilvækst i befolkningstallet p.a. = -5% = -0,05
1 + r = fremskrivningsfaktoren = 1 – 0,05 = 0,95

Dvs. forskriften er:

Med denne forskrift og en matematisk lommeregner kan vi beregne alle mulige funktionsværdier (eller befolkningstal til et vilkårligt tidspunkt). Fx er tidspunktet den ¼ 2012 netop 17 år og 3 måneder, eller 17,25 år, efter basistidspunktet. Derfor kan befolkningstallet den ¼ 2012 betegnes på denne måde:


Overstående eksempel sammen med det jeg startede med at skrive, mener jeg er tilstrækkeligt til at forstå at en befolkningsudvikling er eksponentiel.
Jeg mener da, at en befolkningsudvikling er godt beskrevet via en eksponentiel funktion. Da den giver det helt rigtigt billede på en befolkningsudvikling.

Jeg vil nu sætte nogle tal op. For at forklare vise nærmere, hvad det er der sker:

Lineær vækst
Eksponentiel vækst
Startværdi
Tilvækst
Startværdi
Faktor
100
10
1
1,2
100
1

Nu ligger vi tilvæksten, 28 gange til i den lineære vækst.
Og 28 gange faktoren i den eksponentielle vækst.
Lineær vækst
Eksponentiel vækst
Startværdi
Tilvækst
Startværdi
Faktor
100
10
1
1,2
380
164,84
Allerede nu kan vi se der er sket en udvikling. Den lineære vækst er steget med 280. Mens den eksponentielle vækst er steget med 163,84 på samme tidsperiode.
Jeg gør nu det samme som før, igen 28 gange.
Lineær vækst
Eksponentiel vækst
Startværdi
Tilvækst
Startværdi
Faktor
100
10
1
1,2
660
27173,76
Her ses det tydeligt, at en eksponentiel funktion udvikler sig meget mere og hurtigere end en lineær funktion.

Jeg vil her til sidst vise, hvor lang tid der går før en befolkningen i de enkelte verdensdele bliver fordoblet og derefter forklare, hvilke problemer, der kan være med matematiske modeller, der løber langt ud i fremtiden.

Først vil jeg fortælle lidt mere om, hvad jeg ved om fordoblingskonstanten.

Fordoblingskonstanten:

Hvis den eksponentielle udvikling vokser kaldes det antal enheder, hvorved at udviklingens værdier fordobles, for fordoblingskonstanten.
Hvis man skulle beskrive den eksponentielle udvikling illustreret nedenfor er funktionsværdien f(T2) dobbelt så stor som funktionsværdien f(t) nemlig:
En regneforskrift for denne udvikling kunne igen skrives således:
Ved indsættelse af værdier i denne regneforskrift ville man få:
Man kan så gøre som ved vist ovenfor og udlede og løse ligningen. Ligningen løses ved brug af logaritmer således at man ender med at :

Den eksponentielle udvikling   har altså fordoblingskonstanten

I klassen blev der spurgt om hvorfor man anvender T, T½ betegner altid halveringstiden og T2 betegner altid fordoblingskonstanten også inden for fysikken.
Jeg vil nu finde frem til, hvornår:

  • verdensbefolkningen er fordoblet.  
  • befolkningen i Europa er fordoblet: 
  • befolkningen i Afrika er fordoblet:
  • befolkningen i Sydamerika er fordoblet:
  • befolkningen i Asien er fordoblet:
  • befolkningen i Nordamerika er fordoblet:
  • befolkningen i Australien (Oceanien) er fordoblet:

Jeg vil nu fortælle lidt omkring det med at se frem i tiden, ud fra tal man beregner på.

Fremtidsforskningens redskaber

Fremtidsforskning byder på flere mulige synsvinkels og metoder. Inden for fremtidsforskning arbejder man med den sandsynlige fremtid, de mulige fremtider og den ønskelige fremtid. De tre tilgange repræsenterer spektret af fremtidsforskning i dag og viser samtidig den historiske udvikling i fremtidsforskningen. Det er dog kun nogle årtier siden man begyndte at tænke i fremtider og arbejde med den.
Nogle mener, at der kun findes én fremtid, nemlig den sandsynlige fremtid. De fokuserer på at identificere konsekvenser og på at forudsige fremtiden gennem fremskrivninger af fortiden.
Især de nutidsorienterede tilpassede vil mene, at fremtiden er usikker. De fokuserer på både muligheder og risici. Så er der dem, som er fremtidsorienterede, de mener at fremtiden er noget, man selv skaber.
Fremtidsforskning er både en disciplin, en tankegang og en række metoder, som er med til at give virksomheder, organisationer m.v. et valg af fremtid.
Formålet med fremtidsforskning er på den ene side at styrke bevidstheden om fremtiden og på den anden side at styrke handlingsrummet i nutiden. En del af fremtidsforskningen påvirke og forandre det eksisterende, og både fremtidsforskningen og tidssynsmodellen kan bruges til at påvirke og udvikle de forskellige tidssyn, som findes i enhver virksomhed og organisation.

Jeg mener, at man først og fremmest ikke skal ligge alt for meget i de fremtidsudsigter som nogle forskere kommer med. Samtidig er der en stor risiko ved resultaterne.


Befolkningsudviklingen i de forskellige verdensdele

Man snakker i dag meget om befolkningsudviklingen i de forskellige verdensdele. For det er jo et faktum, at der bliver flere og flere menne...